1.公安机关依报案、举报或其他线索进行侦查，或是法院、检察院发现有重婚嫌疑而移交公安机关侦查，侦查终结后通过检察院提起公诉，由人民法院审判。
2.配偶发现另一方有重婚行为的，可以向公安机关报案，要求公安机关立案侦查，也可以由受害者自行收集证据后，向人民法院直接起诉。 直接起诉的，需要自己承担举证的责任。
如果对方没有起诉重婚罪，重婚一方是否能开具无犯罪记录证明需要根据具体情况来判断。
如果有法院判决重婚罪，那么重婚一方无法开具无犯罪记录证明。如果涉嫌重婚罪，但没有法院判决，可以向公安机关申请开具无犯罪记录证明。
然而，如果没有足够的证据证明重婚行为，法院可能不会支持重婚罪的诉讼。在这种情况下，建议您咨询律师以了解具体的法律规定和操作流程。